By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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7. Die Konjugiertheitsrelation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. Man kann also die Elemente einer Gruppe in Klassen konjugierter Elemente einteilen. § 10. Homomorphie, Normalteiler und Faktorgruppen Wenn in zwei Mengen IDl und W gewisse Relationen (wie a < b oder ab = c) definiert sind und wenn jedem Element a von IDl ein Bildelement Ii = q;a so zugeordnet ist, daB aIle Relationen zwischen Elementen von IDl auch fUr die Bildelemente gelten (so daB z. B. aus Gruppen 30 < b folgt ii < 6, wenn es sich um die Relation < handelt), so heillt qJ eine homomorphe Abbildung oder ein Homomorphismus von min 91.

An b1 + ... + an bm n = m 2: k=l 2: a,bk' i~l 36 Ringe und Korper Die Distributivgesetze gelten auch fiir die Subtraktion; z. B. ist a(b-c}=ab-ac, wie man aus a(b - c} + ac = a(b - c + c} = ab ersieht. Insbesondere ist a'O = a(a - a} = a'a - a'a = 0, oder: Ein Produkt ist sicker dann Null, wenn ein Faktor es ist. Die Umkehrung dieses Satzes braucht, wie wir spater an Beispielen sehen werden, nicht zu gelten: Es kann vorkommen, daB a·b=O, a*O, bol=O. In diesem Fall nennt man a und b Nullteiler, und zwar a einen linken, b einen rechten Nullteiler.

Aufgabe. Sind x,y, ... unendlich viele Symbole, so kann man die Gesamtheit aller ffi-Polynome in diesen Unbestimmten betrachten. Jedes Polynom darf aber nur endlichviele dieser Unbestimmten enthalten. Man beweise, daB auch der so definierte Bereich ein Ring bzw. Integritiitsbereich ist, sobald ffi einer ist. § 15. Ideale. Restklassenringe Es sei 0 ein Ring. Damit eine Untermenge von 0 wieder ein Ring (Unterring von 0) ist, ist notwendig und hinreichend, daB sie 1. eine Untergruppe der additiven Gruppe ist, mit anderen Worten zu a und b auch a - b enthiilt (Moduleigenschaft), 2.