By Christoph Schweigert

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Example text

Damit ist der projektive Limes eines gerichteten Systems topologischer Gruppen wieder in nat¨ urlicher Weise eine topologische Gruppe. 7. Sei E/K eine beliebige galoische Erweiterung. Dann ist die Galoisgruppe G(E/K) in nat¨ urlicher Weise mit einer Topologie versehen: Seien L/K, L ⊆ 55 E endliche galoische Teilk¨orper von E/K und seien die endlichen Galoisgruppen G(L/K) mit der diskreten Topologie versehen. Das heißt, alle Untermengen von G(L/K) werden als offene (und somit auch als abgeschlossene) Mengen deklariert.

Sei H ⊆ G eine offene Untergruppe und P ein Repr¨asentantensystem der Nebenklassen von G/H. Da die Translation mit g ∈ G ∼ H → gH h → gh ein topologischer Isomorphismus ist, ist die Untermenge gH von G offen f¨ ur alle g ∈ G. Also ist G\H = ˙ g∈P g=e gH als disjunkte Vereinigung offener Mengen offen, also ihr Komplement H abgeschlossen. 10 (Hauptsatz der Galoistheorie f¨ ur beliebige Galoiserweiterungen). Sei E/K eine galoische K¨orpererweiterung. Dann ist die Abbildung Z(E/K) −→ U(E/K) von der Menge aller Zwischenk¨orper auf die Menge aller abgeschlossenen Untergruppen der Galoisgruppe G(E/K) F → G(E/F ) 57 eine Bijektion.

Ii) Um die Gleichung 2 p 2 = (−1) p 8−1 zu zeigen, betrachten wir den K¨orper Q(ζ) mit ζ = ζ8 = e2πi/8 und rechnen im Ring Q(ζ8 ). Wegen (ζ + ζ −1 )2 = ζ 2 + 2 + ζ −2 = 2 + i − i = 2 ist y = ζ + ζ −1 = 43 √ 2 Ferner gilt y p = ζ p + ζ −p mod p . h. 2 2 = 1 mod p. h. es ist 2 −1. 5 p−1 2 = −1 mod p. 1 (Translationssatz). Sei E/K eine endliche galoische K¨orpererweiterung und K /K eine beliebige K¨orpererweiterung. 2 k¨onnen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, dass E und K Teilk¨orper eines K¨orpers C sind.