By David Mumford

From the reports: "Although numerous textbooks on glossy algebraic geometry were released meanwhile, Mumford's "Volume I" is, including its predecessor the purple publication of types and schemes, now as sooner than some of the most first-class and profound primers of contemporary algebraic geometry. either books are only precise classics!" Zentralblatt

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Es folgt IP (C, C ) ≥ 2 ⇐⇒ L ∈ TP C. 2. Sei f ∈ K[X0 , X1 , X2 ] und homogenes Polynom vom Grad d und C = V (f ) ⊂ P2K . Sei L ⊂ P2K eine Gerade, die nicht in C enthalten ist. Dann gilt IP (C, L) = 1. P ∈C Beweis. L schneidet C nur in endlich vielen Punkten. Wir k¨onnen Koordinaten so w¨ahlen, dass L : X2 = 0, Q = (: 1 : 0 : 0 :) ∈ / C. Dann ist f |L = a0 X d + ... + ad X 0 . 3 (Bezout). Seien f, g ∈ K[X0 , X1 , X2 ] homogen mit Grad d, d . C = V (f ), C = V (g) ⊂ P2K seien glatte projektive Kurven in P2K .

Beweis. Sei C ⊂ PnK . , Xn ] homogen und grad(g) = grad(h). Ist νP (f ) = 0, so ist νP (g) = 0 oder νP (h) = 0. Wir zeigen, dass die Menge {P ∈ C|νP (g) = 0} ¨ endlich ist: Sei C = C0 ∪ ... ∪ Cn eine Uberdeckung in affine Variet¨aten. h. eine glatte affine Variet¨at der Dimension 1. Dann ist g ∈ K[Ci ] Die Nullstellenmenge von g auf Ci zerf¨allt in endlich viele Komponenten. Diese sind affine Variet¨aten der Dimension 0 und somit endlich. Analog folgt, dass {P ∈ C|νP (h) = 0} endlich ist. 50 Sei f ∈ K(C), f = 0.

4) Eine birationale Abbildung von P2K nach P2K heißt Cranometransfomation. Ein Beispiel ist ϕ : P2K − → P2K (: x0 : x1 : x2 :) → (: x1 x2 : x0 x2 : x0 x2 :) = : 1 1 1 : : : . x0 x1 x2 ϕ ist nicht definiert auf den Punkten (: 1 : 0 : 0 :), (: 0 : 1 : 0 :) und (: 0 : 0 : 1 :). Es gilt ϕ−1 = ϕ. 4 Produkte projektiver Variet¨ aten K sei weiterhin algebraisch abgeschlossen. Wir zeigen, dass Produkt zweier projektiver Variet¨aten wieder eine projektive Variet¨at ist. Wir definieren die Segre-Abbildung durch (m+1)(n+1)−1 n smn : Pm K × PK → PK ((: x0 : ...

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