By Scheithauer

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Additional resources for Algebraische Geometrie [Lecture notes]

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Es folgt IP (C, C ) ≥ 2 ⇐⇒ L ∈ TP C. 2. Sei f ∈ K[X0 , X1 , X2 ] und homogenes Polynom vom Grad d und C = V (f ) ⊂ P2K . Sei L ⊂ P2K eine Gerade, die nicht in C enthalten ist. Dann gilt IP (C, L) = 1. P ∈C Beweis. L schneidet C nur in endlich vielen Punkten. Wir k¨onnen Koordinaten so w¨ahlen, dass L : X2 = 0, Q = (: 1 : 0 : 0 :) ∈ / C. Dann ist f |L = a0 X d + ... + ad X 0 . 3 (Bezout). Seien f, g ∈ K[X0 , X1 , X2 ] homogen mit Grad d, d . C = V (f ), C = V (g) ⊂ P2K seien glatte projektive Kurven in P2K .

Beweis. Sei C ⊂ PnK . , Xn ] homogen und grad(g) = grad(h). Ist νP (f ) = 0, so ist νP (g) = 0 oder νP (h) = 0. Wir zeigen, dass die Menge {P ∈ C|νP (g) = 0} ¨ endlich ist: Sei C = C0 ∪ ... ∪ Cn eine Uberdeckung in affine Variet¨aten. h. eine glatte affine Variet¨at der Dimension 1. Dann ist g ∈ K[Ci ] Die Nullstellenmenge von g auf Ci zerf¨allt in endlich viele Komponenten. Diese sind affine Variet¨aten der Dimension 0 und somit endlich. Analog folgt, dass {P ∈ C|νP (h) = 0} endlich ist. 50 Sei f ∈ K(C), f = 0.

4) Eine birationale Abbildung von P2K nach P2K heißt Cranometransfomation. Ein Beispiel ist ϕ : P2K − → P2K (: x0 : x1 : x2 :) → (: x1 x2 : x0 x2 : x0 x2 :) = : 1 1 1 : : : . x0 x1 x2 ϕ ist nicht definiert auf den Punkten (: 1 : 0 : 0 :), (: 0 : 1 : 0 :) und (: 0 : 0 : 1 :). Es gilt ϕ−1 = ϕ. 4 Produkte projektiver Variet¨ aten K sei weiterhin algebraisch abgeschlossen. Wir zeigen, dass Produkt zweier projektiver Variet¨aten wieder eine projektive Variet¨at ist. Wir definieren die Segre-Abbildung durch (m+1)(n+1)−1 n smn : Pm K × PK → PK ((: x0 : ...