By J. Sander et al.

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26. 38 Sei B = {α1 , α2 , . . , αd } eine Q-Basis von F . Ist B2 = {β1 , β2 , . . , βd } ⊆ F mit d βk = qi,k αi i=1 (k = 1, . . , d; qi,k ∈ Q) , so gilt: B2 ist Q-Basis von F ⇐⇒ det(qi,k ) = 0. Beweis: =⇒“ ” Sei B2 Q-Basis von F . 35 ist discr (B2 ) = D2 · discr (B1 ) mit D = det(qi,k ). 36 ist discr (B2 ) = 0, also auch D = 0. ⇐=“ ” Sei det(qi,k ) = 0. Wir haben zu zeigen, dass β1 , β2 , . . , βd linear unabh¨angig u ¨ber Q sind. Die Annahme γ1 β1 + · · · + γd βd = 0 f¨ ur gewisse γi ∈ Q impliziert d 0= d d γk γk βk = k=1 k=1 d αi qi,k αi = i=1 d i=1 k=1 Wegen der linearen Unabh¨angigkeit der αi folgt d k=1 γk · qi,k = 0 (1 ≤ i ≤ d) .

UD . Widerspruch! Wir haben also f (β) < f (α) und f (γ) < f (α) und somit nach Induktionsannahme Faktorisierungen von β und γ in irreduzible Elemente. Daher ist auch α = β · γ faktorisiert. Es bleibt noch die Eindeutigkeit der Zerlegung zu zeigen. Wir beweisen zuerst, dass jedes irreduzible Element prim ist. Sei dazu α irreduzibel mit α | βγ. Gilt α β, so ist ggT(α, β) = 1. h. 50) ergibt sich die Existenz von σ, τ ∈ D derart, dass σα + τ β = 1 . h. α ist prim. 47(ii) folgt die Eindeutigkeit der Zerlegung, wobei wie oben Induktion u ¨ber f (α) benutzt wird.

37 auch die beiden Diskriminanten ganzrational sind, folgt discr (B1 ) | discr (B2 ). Durch Vertauschen der Rollen ergibt sich auf die gleiche Weise discr (B2 ) | discr (B1 ). Also discr (B1 ) = ±discr (B2 ) , wobei das Minuszeichen wegen (∗) nicht m¨oglich ist. ✷ 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 37 Das vorstehende Korollar besagt im Wesentlichen, dass die Diskriminante einer Ganzheitsbasis eines Zahlk¨orpers F eine Invariante von F ist. 42 Sei B irgendeine Ganzheitsbasis eines algebraischen Zahlk¨orpers F .