By Rüdiger Seydel

In jüngster Zeit haben Finanz-Derivate eine starke Verbreitung erfahren. Das vorliegende Lehrbuch bietet eine elementare Einführung in diejenigen Methoden der Numerik und des Wissenschaftichen Rechnens, die insbesondere für die Berechung von Optionspreisen grundlegend sind. Nach einer kurzen Beschreibung der Modellierung von Standard-Optionen folgt als erster Hauptteil die numerische Simulation der Stochastik mit der Berechnung von Zufallszahlen, der Integration von stochastischen Differentialgleichungen und dem Einsatz von Monte-Carlo-Verfahren. Der zweite Hauptteil konzentriert sich auf die Numerik zu den Black-Scholes Ansätzen mit partiellen Differential-Gleichungen und -Ungleichungen. Dabei werden Lösungsalgorithmen von Differenzenverfahren und von Finite-Element-Verfahren erklärt. Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge runden das Buch ab. Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben werden unter http://www.mi.uni-koeln.de/numerik/compfin/ bereitgestellt.

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Ein Beispiel il:lt der Generator RANDU, definiert dureh Xi = aXi - 1 mod lvi, mit a = 216 + 3, 1'v! 2). 4 haben wir naeh der groBten Spaltbreite gefragt. Gesueht sind also Streifen mogliehst groBer Breite, in denen I:lieh kein Punkt (Ui - 1 , Ui ) befindet. Zur Analyse dieser Frage kann das Gitter der aufeinanderfolgenden Punkte analysiert werden. ) (~) erhiilt man die niiehsten beiden Punkte. So geht es weiter, wobei zu beriieksiehtigen ist, dass 40 Kapitel 2 Berechnung von Zahlen nach vorgegebenen Verteilungen bei Verlassen des Einheitsquadrates jede Komponente, welche Werte > 1 erreicht, zuruckgestuft werden muss zur Berucksichtigung des mod M.

U -+-----==== _____=-r----~ u=F(x) 112 I I I I I I 1 I ! ---- I ---i--,---i-----~-~ x Fig. 4. Kleine Anderungen in u konnen grof3e Anderungen in x bewirken. 2 Transformationen im R 1 Eine andere Klasse von Verfahren beruht auf Transformationen zwischen Zufallsvariablen. Wir besehreiben zunachst den skalaren Fall. 1:) und Verteilungsfunktion F(x). Wciter sei h : 5 ----+ B mit 5, B c IR, wo 5 der Support I (Trager) von f(x) ist, und h sei streng monoton. (a) Dann ist Y := h(X) Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F(h-I(y)).

E->-'Y fUr y ;::: 0 g(y) - 0 f··ur y < 0. Der Bereich B besteht hier aus allen nichtnegativen Zahlen. Die Aufgabe soll es sein, eine exponentialverteilte Zufallsvariable Y aus einer [0, 1]gleichverteilten Zufallsvariablen X zu erzeugen. Hierzu definieren wir die Transformation yom Einheitsintervall S in B y = h(x) := mit Umkehrabbildung h-1(y) f(h-1(y)) ->:1 log x = e->-'Y fur y ;::: o. e->-'y = g(y) als Dichte von h(X). Damit ist h(X) exponentialverteilt. Anwendung: Wenn U1 , U2 , ... [0, l]-gleichverteilte Zufallszahlen sind, dann sind die Zahlen h(Ui ) exponentialverteilt.

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