By Prof. Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz (auth.)

Mit der four. Auflage des Buches wurde eine Aktualisierung des Stoffumfangs erreicht, indem in verschiedener Hinsicht Erg?nzungen eingef?gt wurden. Um eine oft bem?ngelte L?cke zu schlie?en, wurden grundlegende Methoden zur Behandlung von Randwertaufgaben bei gew?hnlichen Differentialgleichungen aufgenommen. Weiter wurde im gleichen Zug die f?r die Computergraphik zentrale Bézier-Technik zur Darstellung von Kurven und Fl?chen ber?cksichtigt. Schlie?lich fanden die modernen Aspekte der Vektorisierung und Parallelisierung von Algorithmen im Rahmen von zwei Problemstellungen Aufnahme im Buch. Das notwendige Vorgehen zur Vektorisierung wird am Beispiel der effizienten L?sung von linearen Gleichungssystemen mit vollbesetzter und tridiagonaler Matrix dargelegt. Desgleichen werden die wesentliche Idee und Techniken der Parallelisierung einerseits am Beispiel der L?sung von tridiagonalen linearen Gleichungssystemen und andererseits im Fall des Eigenwertproblems f?r eine symmetrische, tridiagonale Matrix entwickelt und die einschl?gigen Algorithmen dargestellt

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82· 10 3 bezüglich der Spektralnorm sind in i sogar zwei wesentliche Dezimalstellen richtig, und die Nachiteration liefert zwei weitere richtige Stellen. Soll etwa ein Computerprogramm zu einer berechneten Näherungslösung i eine präzise Angabe über die Genauigkeit mitliefern, oder soll es entscheiden können, ob eine Nachiteration notwendig oder überhaupt sinnvoll ist, ist die Kenntnis der Konditionszahl x(A) erforderlich. Dazu braucht man aber entweder die Inverse von A oder den größten und kleinsten Eigenwert von ATA.

80) Fehlerabschätzungen, Kondition Wir wollen nun zwei Fragestellungen untersuchen, welche die Genauigkeit einer berechneten Näherung i der Lösung x von A x + b = 0 betreffen. Zuerst wollen wir das Problem betrachten, welche Rückschlüsse aus der Größe des Residuenvektors r=Ai+b auf den Fehler z:=x-i gezogen werden können. Dazu sei IIAII eine beliebige Matrixnorm und 11 x 11 eine dazu verträgliche Vektornorm. Da nach (1. 6 Der Zahlwert x(A):=IIAIIIIA- 1 1I heißt die Konditionszahl der Matrix A bezüglich der verwendeten Matrixnorm.

96) nur die Matrixelemente aJJ'l in und unterhalb der Diagonale zu berechnen sind, setzt sich der Rechenaufwand im k-ten Reduktionsschritt zusammen aus einer Quadratwurzelberechnung, (n -k) Divisionen und (1 + 2 + ... + (n - k» =.! (n - k + 1)(n - k) Multiplikationen. 3 Systeme mit speziellen Eigenschaften ZLLT = {(n - 1) + (n - 2) + ... + I} + = ~2 n(n - 1) + ~2 {~n(n 6 21 {n(n - 1)(2n - 1) + 1) + (n - l)(n - 2) + ... + 2 . I} ~2 n(n - I)} = ~6 (n 3 + 3n 2 - 4n) wesentliche Operationen. Die Prozesse des Vorwärts- und Rückwärtseinsetzens erfordern je den gleichen Rechenaufwand, weil die Diagonalelemente lii i= 1 sind, nämlich Zv = ZR = - 1 2 (n + n) 2 multiplikative Operationen.

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