By Klaus Lamotke

Das vorliegende Buch beruht auf Vorlesungen und Seminaren für Studenten mittlerer und höherer Semester im Anschluß an eine Einführung in die komplexe Funktionentheorie. Die Theorie Riemannscher Flächen wird als ein Mikrokosmos der Reinen Mathematik dargestellt, in dem Methoden der Topologie und Geometrie, der komplexen und reellen research sowie der Algebra zusammenwirken, um die reichhaltige Struktur dieser Flächen aufzuklären und an vielen Beispielen und Bildern zu erläutern, die in der historischen Entwicklung eine Rolle spielten. Wegen seiner Methodenvielfalt enthält es gleichzeitig Einführungen in die Topologie (Fundamentalgruppe, Überlagerungen, Flächen), in die algebraische Geometrie (Kurven und ihre Singularitäten) und in die Potentialtheorie (Perron-Prinzip).
Die 2. Auflage wurde um eine genauere Betrachtung des Kleinschen 14-Ecks, ein Kapitel über die de Rhamsche Cohomologie und einen Paragraphen über die Lösung nicht-linearer Gleichungen der Mathematischen Physik mittels Riemannscher Thetafunktionen ergänzt.

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Riemannsche Flächen

Das vorliegende Buch beruht auf Vorlesungen und Seminaren für Studenten mittlerer und höherer Semester im Anschluß an eine Einführung in die komplexe Funktionentheorie. Die Theorie Riemannscher Flächen wird als ein Mikrokosmos der Reinen Mathematik dargestellt, in dem Methoden der Topologie und Geometrie, der komplexen und reellen research sowie der Algebra zusammenwirken, um die reichhaltige Struktur dieser Flächen aufzuklären und an vielen Beispielen und Bildern zu erläutern, die in der historischen Entwicklung eine Rolle spielten.

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Da die Ableitung von ζ(z + ω) − ζ(z) verschwindet, gilt (3) ζ(z + ω) = ζ(z) + h(ω) . 32 2. Tori und elliptische Funktionen Dabei ist h : Ω → C ein additiver Homomorphismus. F¨ ur die SigmaFunktion folgt mit einer weiteren Abbildung k : Ω → C , welche kein Homomorphismus ist, die Periodenrelation σ(z+ω) = σ(z) · exp h(ω)z + k(ω) f¨ ur z ∈ C, ω ∈ Ω . Beweis. Die logarithmische Ableitung von σ(z + ω)/σ(z) hat den konstanten Wert = h(ω) . Daraus folgt die Behauptung. 5 Vorgabe der Null- und Polstellen.

Dreiecksparkettierungen der Ebene der Typen (3,3,3), (2,4,4) und (2,3,6). Andere M¨ oglichkeiten gibt es nicht. 7 -8 bzw. 5 gewonnen. 7 Aufgaben In den folgenden Aufgaben bezeichnet Ω ein Gitter in C , welches den elliptischen Funktionen sowie den Weierstraßschen Funktionen ℘ , σ , ζ zugrunde liegt. 1) Man zeige: Zu jeder elliptischen Funktion f vom Grade 2 gibt es ein a ∈ C und ein A ∈ Aut(C) mit f (z) = A ◦ ℘(z + a) . 2) Betrachte in C2 mit den Koordinaten (u, v) die komplexe Gerade L mit der Gleichung v = mu + n .

Weierstraß hat seine endg¨ ultige Theorie der elliptischen Funktionen nie publiziert. Die wesentlichen Teile diktierte er 1863. Andere trug er nur in Vorlesungen vor, siehe [Wst] 5. Er begann mit dem schwierigeren Teil, n¨ amlich die Differentialgleichung (x′ )2 = 4x3 − g2 x − g3 f¨ ur vorgegebene komplexe Zahlen g2 , g3 durch eine doppeltperiodische Funktion ℘ zu l¨ osen, deren Perioden erst gefunden werden m¨ ussen. Damit l¨ oste er das Jacobische Problem. Umgekehrt konstruierte er die ℘-Funktion zu vorgegebenen Perioden.

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